■一言解説
大気の流れや状態(温度や密度の分布)は時々刻々と変化するものであるが、両者は無関係に変化しているわけではない。両者の変化を関係付けている物理量が渦位(Potential Vorticity)であり、流れと状態は、常に渦位を保存しながら変化している。渦位の定義式は、大気や流体を記述する方程式系(浅水方程式系、準地衡風方程式系等…)によって形が異なる。気象学において、渦位は擾乱の発達を議論する際によく用いられるし、対流圏界面高度を定義する際にも用いられる。同じ空気塊ならば同じ大きさの渦位を持っているため、その空気塊がどのような経路で流れてきたのか(空気塊の軌跡)を調べるためのトレーサーとしても利用される。

■詳解
浅水方程式系の渦位
浅水方程式系は最も簡単に流体の運動を記述した方程式系である。流体は、等密度(どこでも密度が一定)であり、非圧縮性流体であるとする。この流体の運動を支配する運動方程式と連続の式は、それぞれ次式の(1)、(2)で表される。

	(1)
	(2)

ここで浅水方程式系においては、等密度流体を考えているため、z(p)方向の微分は０、鉛直方向の移流は考慮しないことに注意してほしい。その上で、(1)の運動方程式に関して、東西成分u、南北成分vに分けて考え、後者をxで微分したものから前者をyで微分したものを差し引くと、渦度ζの式ができる。その式に、連続の式(2)を組み入れると次式(3)が導ける。

(3)

この式より、鉛直に立った気柱について、(ζ＋f)/hという物理量は保存されることになる。これが浅水系における渦位である。hが大きくなり気柱が細長くなれば、絶対渦度(ζ＋f)は大きくなる。

エルテルの渦位
エルテルの渦位保存則を導くには、ビヤークネス(Bjerknes)の循環定理とストークスの定理を知る必要がある。
まず、ビヤークネスの循環定理から簡単に説明する。絶対空間(ここでは、宇宙空間から見た地球のことであり、地球の自転の影響も大気の運動に加味する)から見た速度v_aについての循環(ある閉曲線について反時計回りに速度の接線成分を足し合わせたもの)を次式(4)で定義する(これを絶対循環と呼ぶ)。

(4)

摩擦力を無視すると、空気塊に働く力は重力と気圧傾度力であり、次式(5)で表される。

(5)

よって、(4)と(5)より、式(6)が導かれる。

(6)

これが、ビヤークネスの循環定理である。右辺はソレノイド項と呼ばれ、その大きさはp(気圧)とα(比容)の分布で決まる。順圧大気においては、密度は気圧のみの関数として表されるので、任意の閉曲線に関してソレノイド項は０になる。つまり、順圧大気においては絶対循環は保存される(ケルビンの循環定理)。
次に、ストークスの定理に関して説明する。ストークスの定理とは、任意のベクトルAの閉曲線に沿う成分の線積分は、同じ閉曲線を境界とする任意の曲面での面積積分で表現できるというものである(式(7)）。

(7)

δSは曲面の微小な面積、nは曲面に垂直な方向の単位ベクトルである。式(7)について、ベクトルAとして絶対速度Vaをとると、

(8)

が得られる。ωa、(∇×Va)は絶対渦度である。これにより、絶対循環と渦度の面積分が関係付けられる。
ここから、エルテルの渦位という量が保存されていることを導く。図2のように、ある等温位面上の小さな閉曲線を考える。等温位面上では密度は気圧のみの関数であるから、空気塊が断熱変化している限り、閉曲線が風とともに移動し形が変わっても、絶対循環は保存される。式(8)により、小面積に関して、

(9)

ここで、温位が微少量δθだけ異なる等温位面を考え、等温位面に直角なnベクトルに沿った厚さδhの気柱をとる。時間が経っても、等温位面上の絶対渦度は保存されるし、質量も保存される。

(10)

式(9)のnの方向は温位傾度∇θの方向であり、大きさ１なので、

(11)

式(9)に式(10)及び(11)を代入し、δθ＝|∇θ|δh、δhは一定に保たれていることを考慮すると、

(12)

式(12)は、空気塊において絶対渦度の等温位面に垂直な成分と比容の積は常に保存されていることを意味し、これがエルテルの渦位の保存則である。P_Eがエルテルの渦位と呼ばれる物理量である。

等温位渦位
エルテルの渦位は非常に一般的なものである。気象学では静水圧平衡を仮定して、エルテルの渦位を変形して用いる。この際には、鉛直座標に温位θを用いる温位座標系(θ系)を用いる便利である。図2に示された説明図をθ系で表現すると図3のようになる。絶対渦度の等温位面に垂直な成分は図2では様々な方向を向くことになるが、θ系では単に絶対渦度の鉛直成分で表現できる。
導き方は省略するが、θ系における運動方程式、静水圧平衡の式、連続の式及び熱力学の式は、それぞれ式(13)、(14)、(15)、(16)で表現される。

(13)

(14)

(15)

(16)

ここで＝dθ/dtであり、θ系での鉛直速度を表している(気圧座標系におけるdp/dtと同じ)。そして断熱変化(＝０)であり、摩擦力が無視できる条件下においては、(13)〜(16)の式から、先に示した浅水方程式系での渦位を求めたのと同様の手順で次の物理量が保存されていることを示すことができる。

(17)

式(17)のP_θが、θ系における渦位であり、これが等温位渦位と呼ばれる量である。典型的な値として、ζ_θ〜10^-4s^-1、∂p/∂θ〜−100hPa/10Kをとると、

(18)

ここでPVUはPotential Vorticity Unitの略で、渦位の単位として用いられる。
図4は、エルテルの渦位と温位の1月の鉛直緯度分布である。渦位の大小に関係する温位の鉛直傾度は、対流圏では小さく、成層圏では大きくなっている。また、コリオリパラメータfは高緯度ほど大きくなるため、渦位の値は成層圏の高緯度側で大きくなっている。渦位の値が1PVUより小さな空気は対流圏の空気、2PVUより大きい空気は成層圏の空気である。これが、一言解説で成層圏高度の定義に渦位が用いられると述べた根拠である。

準地衡風方程式系の渦位
準地衡風の世界は、水平風はおおよそ地衡風として扱うものの、水平風の発散はゼロではない世界である(完全な地衡風では発散も鉛直流もゼロになる)。そのような世界を支配する方程式系は、次のように表現される。詳しくは「準地衡風方程式系」を参照されたい。まず、運動方程式は東西風u、南北風vに関してそれぞれ、

(19)

(20)

u_g、v_gは東西風、南北風の地衡風成分、そしてu_a、v_aはそれぞれ東西風、南北風の非地衡風成分を表す。大きさを比較すると前者の方が後者より1桁大きい。βはコリオリパラメータの緯度方向の変化率であり、f＝f₀＋βyとしている。
静水圧平衡の式は、ジオポテンシャルφと比容αを用いて、

(21)

連続の式は、式(22)で表現される。

(22)

熱力学の式は、比容α及びジオポテンシャルφを気圧のみに依存した基本状態α₀やφ₀とそれからの偏差α’、φ’に分けて考えると式(23)で表現される。

(23)

次に、式(20)をxで偏微分、式(19)をyで偏微分して引き算をし、連続の式(22)を代入すると準地衡風方程式系での渦度方程式(24)を得ることができる。

(24)

さらに、断熱変化を仮定し、熱力学の式(23)に(f₀/S₀)を掛けてpで微分し、式(24)を加えるとωを含む項が消える。その上で、温度風の関係式を代入すると、式(25)が得られる。

(25)

これが準地衡風方程式系の渦位となる。断熱過程及び摩擦の影響が無い限り、空気塊についてこの物理量が保存される。

参考文献
小倉 義光, 2000 ： 総観気象学入門。 東京大学出版会,　289頁。